Tree Structures for Orthogonal Transforms and Application to the Hadamard Transform

Tree structures for computing orthogonal transforms are introduced. Two cases, delay trees and decimation trees, are investigated. A simple condition, namely the orthogonality of branches with a common root, is shown to be necessary and sufficient for the overall transform to be orthogonal. Main advantages are structural simplicity and a number of operations proportional to N Log 2 N. Application of the tree structures to the Walsh-Hadamard Transform (in natural, sequency and dyadic order) is presented. A single module can be multiplexed or used in parallel in order to perform all operations. Such a system is shown to be well suited for hardware implementation. Zusammenfassung. Baumstrukturen zur Berechnung orthogonaler Transformationen werden eingefiihrt. Zwei F~ille, Ver-z6gerungsb~iume und Dezimierungsb~iume, werden untersucht. Eine einfache Bedingung, nfimlich die Orthogonalit~it von Aesten mit gemeinsamer Wurzel, wird als notwendig und geniigend gefunden damit die resultierende Transformation orthogonal ist. Gr6sste Vorteile sind strukturelle Einfachheit und eine Anzahl Operationen die zu N Log2 N proportional ist. Anwendung der Baumstrukturen zur Berechnung der Walsh-Hadamard Transformation (in natiirlicher, sequentieller und dyadischer Ordnung) wird vorgestellt. AUe Operationen k6nnen mit einem enzigen Modul, dass multiplexiert oder parallel geschaltet wird, ausgef(ihrt werden. Es wird gezeigt dass ein solches System fiir eine 'hardware' Implementierung gut geeignet ist. R~sum& Des structures en arbres pour l'Evaluation de transformations orthogonales sont introduites. Deux cas, des arbres fi dElais et des arbres fi decimation, sont analyses. Une condition simple, l'orthogonalitE de branches h racine commune, est dEmontrEe comme nEcessaire et suffisante afin d'obtenir une transformEe totale orthogonale. Les avantages principaux sont la simplicitE structurelle et un nombre d'opErations proportionnel fi N Log2 N. L'application des structures en arbres au calcul de la transform6e de Walsh-Hadamard (en ordre naturel, sequentiel et dyadique) est prEsentEe. Un module unique peut 8tre multiplexE ou utilis6 en parall61e afin d'exdcuter l'ensemble des calculs. I1 est montrE qu'un tel syst~me s'adapte bien ~ une implantation 'hardware'.